2004年 早稲田大学・政経 第3問 三つ子素数
こんにちは。
今回は2004年の早稲田の問題を紹介します。
問題はこちら
n を自然数とする。n, n+2, n+4 がすべて素数であるのは n=3 の場合だけであることを示せ。
私の解答はこちら
有名な問題ですね。
学生に「なんで3で割った余りで場合分けするの?」とよく聞かれます。
確かに解答からそれは読み取れません。
この問題を考えるとき、どう手をつけるか。
私ならばまずはよくわからないので、
解答の右に書いてあるような表を作り、
どのような状況になっているのかを見てみます。
そうすると、n=3 の時以外はすべて n+2, n+4 のどちらかが3の倍数になっていることがわかります。
ということはn+2やn+4が3の倍数であることが証明できればOKです。
一般にaの倍数であることを証明するときは、
aで割ったときの余りで場合分けするのが定石です。
なので3の倍数で場合分けをするのです。
この表を書くという実験が解答に載らないので、分かりづらいんですね。
素数は無限個あります。(いつかそれに関する問題を紹介したいです。)
2つの連続する奇素数の組を双子素数といいます。(3と5、29と31とか)
双子素数はたくさんあるのですが、無限個あるのかはまだわかっていません。
(私が生きているうちに解決されるでしょうか…)
この問題を見ると、3つの連続する奇素数は3,5,7だけだとわかります。
でも1組だけだとつまらないので、これを三つ子素数とはいわないようです。
三つ子素数の定義は別にあります。ひねくれてますね。
素数には不思議な魅力があります。
しかしとても扱いづらいので、問題として出てくると恐いです。
震えます。
ではまた。