受験数学の森

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2004年 早稲田大学・政経 第3問 三つ子素数

こんにちは。

今回は2004年の早稲田の問題を紹介します。

 

問題はこちら

n を自然数とする。n, n+2, n+4 がすべて素数であるのは n=3 の場合だけであることを示せ。

 

私の解答はこちら

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有名な問題ですね。

学生に「なんで3で割った余りで場合分けするの?」とよく聞かれます。

確かに解答からそれは読み取れません。

この問題を考えるとき、どう手をつけるか。

私ならばまずはよくわからないので、

解答の右に書いてあるような表を作り、

どのような状況になっているのかを見てみます。

そうすると、n=3 の時以外はすべて n+2, n+4 のどちらかが3の倍数になっていることがわかります。

ということはn+2やn+4が3の倍数であることが証明できればOKです。

一般にaの倍数であることを証明するときは、

aで割ったときの余りで場合分けするのが定石です。

なので3の倍数で場合分けをするのです。

この表を書くという実験が解答に載らないので、分かりづらいんですね。

 

素数は無限個あります。(いつかそれに関する問題を紹介したいです。)

2つの連続する奇素数の組を双子素数といいます。(3と5、29と31とか)

双子素数はたくさんあるのですが、無限個あるのかはまだわかっていません。

(私が生きているうちに解決されるでしょうか…)

この問題を見ると、3つの連続する奇素数は3,5,7だけだとわかります。

でも1組だけだとつまらないので、これを三つ子素数とはいわないようです。

三つ子素数の定義は別にあります。ひねくれてますね。

 

素数には不思議な魅力があります。

しかしとても扱いづらいので、問題として出てくると恐いです。

震えます。

 

ではまた。