不可能性の証明
こんにちは。
今月の数学セミナーを少しだけ読んだのですが、最初の記事が面白かったので、
内容を覚えておくために少しだけ書いておきたいです。
（ざっくりなので間違ったところもあるかも）
「自然数全体の集合Nと実数全体の集合Rの間の濃度を持つ集合は存在しない」
という主張です。
ゲーデルの不完全性定理として、通常考える数学的体系では証明も反証もできないことが知られています。
証明も反証もできない数学的主張があること自体とても興味深いものですが、
まだそれに関して色々な研究がされているみたいで
①連続体仮説が成り立つ世界と成り立たない世界、それぞれで論理が展開されるはずである。
他にも証明も反証もできない主張が無数にあり、それらにより数学世界は無限に分岐するのか。
②証明も反証もできないのは公理が足りないからであり、連続体仮説を証明ないし反証するための採用されるべき自然な公理があるはずである。それはどんなものか。
③NとRの中間の濃度をもつ集合はどれくらい複雑なものか。
などが考えられているようです。
すごく面白そう。こういう数学をやりたかったんだよなぁと思いました。
連続体仮説は知ってはいたのですが、ちゃんと勉強したことがないものの１つで、
いつかやりたいと思っているのですが、何から手をつけていいのか…。
そこら辺のことで取っつきやすい本があれば是非教えてください。
ではまた。
